сумма 3-х первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189,найдите первый член и знаменатель прогрессии
Ответ
5 (1 оценка)
1
Хуqожнuк 3 года назад
Светило науки - 2075 ответов - 9128 раз оказано помощи

Решение во вложении.

Ответ
5 (1 оценка)
0
Соммон 3 года назад
Светило науки - 961 ответ - 5222 помощи

Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 21: b₁+b₂+b₃=21, а сумма квадратов трёх первых членов равна 189: b₁²+b₂²+b₃²=189. Нужно использовать формулу n-ного члена геометрической прогрессии: таким образом можно уменьшить количество неизвестных, чтобы впоследствии составить систему уравнений.

В случае с суммой это: b₁(1-q³)/(1-q)=21, а в случае с произведением это b₁²+b₁²q²+b₁²q⁴=189. Из этих двух уравнений составляем систему и решаем ее:

b₁(1-q³)/(1-q)=21,

b₁²+b₁²q²+b₁²q⁴=189;

b₁(1+q+q²)=21,

b₁²(1 +q²+q⁴)=189.

Разложим выражение 1+q²+q⁴ на (1-q+q²)(1+q+q²).

Можно поделить второе уравнение на первое:

(b₁²(1+q²+q⁴))/(b₁(1+q+q²))=189/21;

(b₁²(1-q+q²)(1+q+q²))/(b₁(1+q+q²))=189/21;

b₁(1-q+q²)=9.

Теперь составим систему из b₁(1+q+q²)=21 и b₁(1-q+q²)=9.

Из первого уравнения выразим b₁, и подставим во второе:

b₁=21/(1+q+q²) подставим во второе: 21×(1-q+q²)/(1+q+q²)=9.

Теперь решим это уравнение:

21-21q+21q²-9-9q-9q²=0;

12q²-30q+12=0;

2q²-5q+2=0;

D=25-4×2×2=25-16=9=3²;

q₁=(5-3)÷4=0,5;

q₂=(5+3)÷4=2.

Знаменатели найдены, осталось найти только первые члены. Если q=0,5, то b₁=21/(1+0,5+(0,5)²)=12; а если q=2, то b₁=21/(1+2+2²)=3.

Ответ: b₁=12, q=0,5 или b₁=3, q=2.

Остались вопросы?