x-1/x=a

x+1/x=b

a+b=2x

a+1/a=√(2x-a)+1/√(2x-a)  

Возведя обе части в квадрат, 2x-a=b

a^2+1/a^2 = b + 1/b

b(a^4+1) = a^2(b^2+1)

b(a^4+1) = a^2b^2+a^2

b^2*a^2-b(a^4+1)+a^2=0

D=(a^4+1)^2-4*a^4 = (a^4-1)^2

b1=(a^4+1+a^4-1)/(2a^2) = a^2

b2=(a^4+1-a^4+1)/(2a^2) = 1/a^2

{2x-a=a^2

{2x-a=1/a^2

1) {x=a(a+1)/2

2) {x=(a+1/a^2)/2

1) x=(x-1/x)*(x-1/x+1)/2

x-1/x=a,  x1,2=(a+/-√(a^2+4))/2  

Тогда уравнение с x1  

(a+√(a^2+4)) = a*(a+1)

√(a^2+4)=a^2

a^2+4=a^4

a^4-a^2-4=0

D=17

a1=+-√((1+√17)/2)

a2=+-√((1-√17)/2)

x-1/x=√((1+√17)/2)  

x-1/x=-√((1+√17)/2)  

Решая  эти  кв уравнения

x=(1+√17+√(2+2√17))/4

остальные 3 корня не подходят, случай с  a2  не подходят , так же с x2  схожие корни.

2) x=(a+1/a^2)/2

  x=(x-1/x+1/(x-1/x)^2)/2

   x-1/x=a

 a+√(a^2+4) = a+1/a^2

 a^2*√(a^2+4) = 1

a^2=y возведя в квадрат, y>=-4

y^3+4y^2=1

но здесь можно численными методами или методом Кардано

ответ примерный y=0.47 ,  a=0.68,   x=1.4